سنجری یکم فروردین سال 1296 در تهران و در خانواده ای موسیقیدان متولد شد.
حسین پدر حشمت نوازنده چیره دست تار بود و مادر او نیز به موسیقی سنتی
ایران آشنایی داشت که همین امر فراگیری موسیقی در سنین خردسالی را برای
حشمت به همراه آورد.
سنجری یکم فروردین سال 1296 در تهران و در خانواده ای موسیقیدان متولد شد. حسین پدر حشمت نوازنده چیره دست تار بود و مادر او نیز به موسیقی سنتی ایران آشنایی داشت که همین امر فراگیری موسیقی در سنین خردسالی را برای حشمت به همراه آورد.
در نهایت این هنرمند نامی با راهنمایی پدر خود پس از گذراندن دوره ابتدایی، وارد هنرستان موسیقی شد و تحصیلات در این رشته را به صورت آکادمیک پیگیری کرد. وی در ابتدا به نواختن ویلن ایرانی روی آورد و از محضر اساتیدی همچون روح الله خالقی و ابوالحسن صبا بهره جست.
پس از مدتی به نواختن ویلن به سبک کلاسیک جهانی روی آورد و نزد سرژ خوتسیف نوازنده و استاد ویلن برجسته آن زمان رفت و طرز نواختن ویلن به شیوه غربی را از وی آموخت.
سنجری با اجرای پایان نامه موفق خود با ارکستر سمفونیک تهران، به عنوان نوازنده ویلن از هنرستان عالی موسیقی فارق التحصیل شد.همین اجرای سطح بالا دلیلی شد تا پرویز محمود رهبر وقت ارکستر سمفونیک تهران برای نوازندگی ویلن وی را بپذیرد.
ممارست و تلاش، موجب پیشرفت حشمت در زمینه موسیقی و در نهایت یادگیری رهبری ارکستر شد؛ در این زمان سفرهای تحقیقاتی را به کشور آمریکا برای یادگیری علوم رهبری ارکستر آغاز کرد؛ رهبری ارکسترهای بوستون و شیکاگو، تجربیات گران بهایی را در زمنیه رهبری برای او به ارمغان آورد.
وی برای تکمیل داشته های موسیقی خود به اروپا سفر کرد و در چند مرکز آکادمیک، رهبری ارکستر را به گونه عملی فرا گرفت که از مهمترین آنها می توان به دیپلم رهبری ارکستر سمفونیک و اپرا و دیپلم آهنگسازی از آکادمی موسیقی وین اشاره کرد.
پس از گذراندن این دوره های آموزشی و کسب تجربه های ارزشمند، حشمت به تهران آمد و به عنوان رهبر دائم ارکستر سمفونیک تهران مشغول به کار شد که تا اوایل دهه 50 به طول انجامید.
در این زمان وی در بالا بردن سطح اجرایی این ارکستر تلاش بسیاری کرد، به طوریکه ارکستر سمفونیک تهران به عنوان یکی از ارکسترهای سطح بالای منطقه آسیا در جهان شناخته شد.
یکی دیگر از شاخصه های حشمت سنجری، در آهنگسازی نمایان شد. وی با استفاده از دستمایه های موسیقی ملی ایران، آثار قدرتمندی را برای ارکستر سمفونیک تدوین کرد که از این میان می توان به سوئیت ایرانی اشاره کرد.
این سوئیت پنج قسمتی در عین حال که پایبند فرم های موسیقی کلاسیک بود، از ملودی ها و ریتم های موسیقی ایرانی بهره می برد که نهایت این اثر را به یک قطعه پر مخاطب تبدیل کرد و نظر مثبت بیشتر کارشناسان وقت موسیقی کلاسیک را به همراه داشت.
نیایش یزدان، سرود دانشگاه، سرود قهرمانان آسیا، رنگارنگ و یک پوئم سمفونی از دیگر آثار ارزشمند این فعال موسیقی کلاسیک به شمار می رود که در تمامی این قطعات، تمبر صوتی مخصوص به خود این آهنگساز به گوش می رسد.
وی در سال 1352 از سمت رهبری ارکستر سمفونیک تهران کناره گیری، و به عنوان مشاور وزیر فرهنگ آن زمان در امور موسیقی فعالیت خود را آغاز کرد.
پس از پیروزی انقلاب سنجری دوباره رهبری ارکستر را به عهده گرفت و 10 سال در این سمت به کارش ادامه داد. گرچه ارکستر در طول این سال ها فعالیت و برنامه های چندانی را به اجرا در نیاورد اما سنجری در حفظ و تداوم کار آن کوشید با وجودی که بسیاری از نوازندگان ارکستر پش ار انقلاب مهاجرت کرده بودند ارکستر را حفظ کرد و برنامه هایی با نوازندگان باقیمانده و چند نوازنده جایگزین ادامه داد.
او تقریبا حدود 12 سال رهبری ارکستر را در دست داشت و سرانجام در پاییز 1368 پس از اجرای کنسرتی به مناسبت چهلمین روز درگذشت مرتضی حنانه با ارکستر سمفونیک تهران برای همیشه خداحافظی کرد.
یکی از آشناترین و معروف ترین آثار سنجری تابلوی ایرانی یا سوئیت ایرانی است که بارها توسط خود او و رهبران دیگر ارکستر اجرا شده است.
وی در این یک دهه نیز در ارکستر سمفونیک شاگردان موفقی را تربیت کرد و در نهایت در 14 دی سال 1373 در سن 77 سالگی درگذشت.
زنده یاد سنجری طی فعالیت خود نقش به سزایی در شکوفایی هنر علمی موسیقی در ایران ایفا کرد که شاید اگر تلاش بی دریغ وی نبود، ارکستر سمفونیک تهران حیاتی کوتاه داشت و اکنون فضای موسیقی ایران از داشته غربی این هنر که قدمتی به اندازه چند قرن دارد، محروم می ماند.